Введение
Из числа методов, позволяющих обобщать значения элементарных признаков, метод
главных компонент выделяется простой логической конструкцией и в то же время на
его примере становятся понятными общая идея и целевые установки многочисленных
методов факторного анализа.
Метод главных компонент дает возможность по m – числу исходных признаков
выделить m главных компонент, или обобщенных признаков. Пространство главных
компонент ортогонально.
Математическая модель метода главных компонент базируется на логичном допущении,
что значения множества взаимосвязанных признаков порождают некоторый общий
результат.
Для достижения цели курсовой работы требуется решить следующие задачи:
- изучить теоретические основы метода главных компонент;
- разработать математическую модель работы отделений учреждения, т. е. выделить
исследуемые и измеряемые параметры, установить зависимости между ними и дать
математическую постановку задачи; составление программы, реализующей выделение в
данном факторном пространстве исходных признаков m главных компонент, или
обобщенных признаков. Характерной особенностью пространства главных компонент
является его ортогональность.
Метод главных компонент, сущность которого состоит в сведении множества
показателей к нескольким суммарным интегральным оценкам, в данном случае обладает
существенными преимуществами по сравнению с другими статистическими
методами, такими как дисперсионный, регрессионный и факторный анализы.
Однако, недостаток метода главных компонент состоит в сложности нахождения
собственных чисел и собственных векторов матриц большой размерности при
ручной обработке которых, невозможно получить достаточно точные результаты за
приемлемое время, поэтому необходима ее автоматизация с применением ЭВМ.
КР.230105.ММ.01.007.ПЗ Лист
3
Изм. Лист № докум. Подпись Дата
1.Математическая модель метода главных компонент
Решение задачи методом главных компонент сводится к поэтапному преобразованию
матрицы исходных данных X (рисунок 1.1):
Рисунок 1.1 – Схема математических преобразований
На рисунке обозначено: X – матрица исходных данных размерностью
n*m (n – число объектов наблюдения, m – число элементарных
аналитических признаков); Z – матрица центрированных и нормированных
значений признаков, элементы матрицы вычисляют по формуле: ; R –
матрица парных корреляций: R = (1/n)*Z’*Z.
Если предварительнаястандартизация данных не проводилась, то на данном шаге
получают матрицу S = (1/n)*X’*X, элементы матрицы X для расчета будут
центрированными величинами.
Опишем дальнейшие шаги вычислений для метода главных компонент и объясним
математический смысл полученных результатов.
Λ – диагональная матрица собственных (характеристических) чисел.
Множество решений λj находят решением характеристического уравнения |R -
λE| = 0. λj – это характеристики вариации, точнее, показатели
дисперсии каждой главной компоненты. Суммарное значение Σλj равно
сумме дисперсий элементарных признаков Xj. При условии стандартизации исходных
данных, эта сумма равна числу элементарных признаков m.
Решив характеристическое уравнение, находят его корни λj. После этого
вычисляют собственные векторы матрицы R. Реально это означает решение m систем
линейных уравнений для каждого λj при j = 1..m. В общем виде система имеет
вид:
КР.230105.ММ.01.007.ПЗ Лист
4
Изм. Лист № докум. Подпись Дата
Приведенная система объединяет однородные линейные уравнения, и так как число ее
уравнений равно числу неизвестных, она имеет бесконечное множество решений.
Конкретные значения собственных векторов при этом можно найти, задавая произвольно
по крайней мере величину одной компоненты каждого вектора.
A – матрица факторного отображения, ее элементы arj – весовые
коэффициенты. Вначале A имеет размерность m*m – по числу элементарных
признаков Xj, затем в анализе остается r наиболее значимых компонент, r ≤ m.
Вычисляют матрицу A по известным данным матрицы собственных чисел Λ и
нормированных собственных векторов V по формуле A = VΛ1/2.
F – матрица значений главных компонент размерностью r*n, F = A-1Z’.
Эта матрица в общем виде записывается:
(1.2)
Программа для реализации метода главных компонент была написана на языке Turbo
Pascal 7.0. Все вычисления выполнены в последовательности, представленной на
рисунке 1.1. Обозначения программных переменных и массивов по возможности
соответствуют изложенным выше. Программа является в достаточной степени
универсальной, т.к. приспособлена для обработки массивов данных любой размерности
(их размер ограничен только объемом доступной памяти). Однако в программе не
предусмотрен ввод данных с клавиатуры. Размерность массивов задана константами, а
массив исходных данных инициализируется также в теле программы. При необходимости
ввода других данных можно легко скорректировать исходный текст программы.
Отдельной процедурой в программе описан вывод на экран матрицы m*m. В программе
часто приходится проделывать эту операцию, поэтому она оформлена как процедура
out.
Первой процедурой является центрирование и нормирование исходных данных. Оно
выполняется в соответствии с описанными выше формулами.
Далее запрограммировано нахождение коэффициентов характеристического уравнения
для корреляционной матрицы R. Оно производится в соответствии с рекуррентными
соотношениями Фаддеева, т.е по следу матриц, производных из R, по формулам:
Ai-1=ABi-2; Pi-1=1/(m-1)trAi-1; Bi-1=Ai-1-Pi-1E;
i=1,2..m. (2.1)
КР.230105.ММ.01.007.ПЗ Лист
5
Изм. Лист № докум. Подпись Дата
После вычисления рекуррентных соотношений находится характеристический
полином:
Pm(λ)= λm - P1 λm-1 - P2 λm-2 -…-
Pm.
(2.2)
Известно, что при m > 4 (2.2) не имеет общего решения. Однако мы знаем, что
это уравнение имеет все вещественные корни, и что их число равно m. Для их
нахождения используется итерационный метод Ньютона, поскольку исследуемая функция
– полином и нет затруднений в вычислении ее производной. Итерационная
формула Ньютона для i-й точки имеет вид:
,
(2.3)
где j – номер итерации.
Далее в соответствии с (1.1) находим собственные векторы матрицы R. Для решения
систем уравнений применялся метод Гаусса. Однако предварительно необходимо было
исключить одно неизвестное. Для этого переменным umj были присвоены единичные
значения, последний столбец перенесен в правую часть с обратным знаком, а
последнее уравнение исключено из рассмотрения.
После получения матрицы собственных векторов U было проведено ее нормирование, в
результате чего была получена матрица нормированных собственных векторов V.
Затем вычисляется матрица факторного отбражения A в соответствии с правилами
умножения матриц.
Далее находится матрица, обратная к A, методом m-кратного пересчета элементов
[3,с.358] по рекуррентным формулам:
где k – номер итерации, k=1..m. На заключительном этапе A-1 = -A(k).
После нахождения матрицы, обратной A, находим матрицу F – матрицу
факторного отображения и выводим ее на экран в транспонированном виде в
соответствии с (1.2). На этом расчеты по методу главных компонент завершены.
КР.230105.ММ.01.007.ПЗ Лист
6
Изм. Лист № докум. Подпись Дата
