Тетко Ірина Станіславівна

Формування загальних і спеціальних прийомів розумових дій у шкільному курсі алгебри і початків аналізу в класах з поглибленим вивченням математики
Спеціальність 7.010103 – Педагогіка і методика середньої освіти.
        Математика та інформатика

Кваліфікаційна робота
на здобуття кваліфікації:
вчитель математики та інформатики

Науковий керівник
                  ст.  викладач 
        Варущик Н.П. 

Ніжин 2003

Зміст
Вступ.........................................................................................3
Розділ 1. Теоретичні основи розвивального навчання...........................6
      §1.1. Психологічні основи розвивального навчання.........................6
1.1.1. Принципи розвивального навчання....................................6
1.1.2. Оптимальний розвиток різних видів мисленевої діяльності....10
      §1.2.  Розвиток мислення в процесі навчання математики.................14
1.2.1. Види мислення..............................................................14
1.2.2. Особливості математичного мислення................................15
1.2.3. Шляхи формування прийомів розумової діяльності .............19
1.2.4.  Виховання культури мислення........................................20
Розділ 2. Методика формування загальних і  спеціальних прийомів розумових дій в курсі алгебри та початків аналізу в класах з поглибленим вивченням математики ..................................................................25
        §2.1. Зміст курсу алгебри і початків аналізу. Вимоги до знань і вмінь.........................................................................................25
         §2.2. Пропедевтика формування розумових дій в курсі основної
школи........................................................................................27
§2.3. Методика спеціального навчання в курсі алгебри і початків аналізу…………………………………………………………………………34
   2.3.1. Відбір змісту навчального матеріалу і планування    організації навчання прийомам розумових дій на різних рівнях..............34
   2.3.2. Методика формування прийому порівняння.............….....35
   2.3.3. Формування прийому узагальнення................................37
   2.3.4. Абстрагування в процесі навчання алгебри та початків аналізу..................................................................................…..43
   2.3.5. Аналогія як прийом розумової діяльності та результат   певних міркувань..........................................................................46
   2.3.6. Методика формування прийому аналіз через синтез...........47
    2.3.7. Класифікація як прийом емпіричного мислення...............48
    2.3.8. Формування спеціальних прийомів розумових дій............50
Висновки................................................................................….52
Додатки......................................................................................54
Література..............................................…...............…....……….62
 
Вступ
Головним джерелом оновлення освіти є визнання розвитку особистості як головної мети навчання у школі. Це соціальне замовлення суспільства. Але в практику навчання, в засоби навчання, в людей, які змінюють або організовують навчання, закладено орієнтованість на накопичення знань. Шкільна практика показує, що школа, нажаль, ще залишається “школою пам’яті” і ніяк не піднімається до рівня школи мислення. При такому підході учень може зберігати в пам’яті великий об’єм інформації, але не вміти її використовувати ні в межах навчального процесу, ні тим більше, в нестандартних ситуаціях.
Усунення цього протиріччя є основою удосконалення освіти.
На сучасному етапі актуальною залишається проблема розвитку мислення. Процес розвитку мислення психологами розуміється по-різному. Під розумовим розвитком учня у процесі навчання будемо розуміти формування і вдосконалення всіх видів, форм і операцій мислення, відпрацювання умінь та навичок застосування законів мислення в пізнавальній діяльності, а також уміння переносити сформовані прийомі розумових дій з стандартної ситуації в нестандартну.    
Під прийомами розумової діяльності будемо розуміти способи, за допомогою яких вона реалізується. Це аналіз, синтез, порівняння, узагальнення, абстрагування, конкретизація, класифікація, систематизація. Кожен акт мислення є процесом розв’язування задачі, яка виникає в процесі пізнання або практичної діяльності. При цьому основою мислення є знання, а знання формуються на основі мислення. Виходячи з цього процес оволодіння знаннями взагалі і математичними зокрема, будемо розглядати як засіб розвитку мислення.
Дидактичними основами   розвитку учнів є закони й закономірності процесу навчання, зокрема закон єдності навчання та розвитку й закон активності учнів у навчанні та вихованні.
Актуальність проблеми визначається переосмисленням ролі математики в період розвивального навчання, у оптимальному відборі змісту навчального математичного матеріалу для цілеспрямованого навчання як загальним так і спеціальним прийомам розумових дій.
Мета дослідження полягає в розробці науково обґрунтованої та ефективної методики формування у старшокласників прийомів розумової діяльності, розвитку вміння переносити сформовані прийоми в нестандартні ситуації.
Гіпотеза дослідження полягає в тому, що розвивальні можливості навчального математичного матеріалу можуть бути найбільш повно використані за умови одночасного навчання математичним знанням і прийомам розумових дій, тобто за умови впровадження діяльнісного підходу в навчання   математиці.
Об’єктом дослідження  є процес навчання алгебрі та початкам аналізу в класах поглибленого вивчення математики.
Предмет дослідження: методика формування у старшокласників прийомів розумових дій спеціальним шляхом.
 Виходячи з мети в роботі ставились наступні завдання дослідження:
1) виконати ретроспективний аналіз психолого-педагогічної і методичної літератури та вивчити стан сформованості прийомів розумових дій учнів у класах різного профілю Обласного педагогічного ліцею при НДПУ імені Миколи Гоголя;
2) на основі аналізу та досвіду роботи вчителів математики, розробити методику спеціального формування прийомів розумових дій;
3) провести апробування запропонованої методики в математичних класах ліцею в процесі вивчення алгебри і початків аналізу.
 
Розділ 1.  Теоретичні основи розвивального   
                                  навчання
Розвивальне навчання в широкому розумінні означає сукупне формування розумових, вольових і емоційних якостей особистості, які сприяють її самоосвіті, тісно пов’язані з удосконаленням процесу мислення: тільки самостійно осмислюючи навчальну або життєву задачу, учень виробляє свій власний спосіб розумової діяльності, знаходить індивідуальний стиль роботи, закріпляє навики роботи з мисленевими операціями (загальними розумовими діями) [15, 8]. 

§1.1. Психологічні основи розвивального навчання
1.1.1. Принципи  розвивального навчання

Метою виховання та навчання в нашому суспільстві є всебічно розвинута особистість. У зв’язку з цим перед психологічною наукою та практикою ставиться задача: теоретично обґрунтувати і практично реалізувати таке навчання, яке б забезпечило формування особистості, що володіє високими духовними потребами, розвинутими пізнавальними здібностями. Це в свою чергу диктує необхідність так будувати пізнавальну діяльність учнів на уроці, щоб забезпечити розвиток їх творчої активності.
Слід відмітити, що творча активність школярів відрізняється від творчої діяльності дорослого тим, що результати його діяльності часто не є новими в загальнолюдському аспекті, але в процесі пізнавання нового для себе учень моделює і формує уміння та навички творця, необхідні в подальшій самостійній трудовій діяльності. Вивчення психологічної літератури показує, що вимозі розвитку творчої активності учнів відповідає розвивальне навчання.[5, 22]
При традиційному навчанні головна увага педагога направляється не на процес учбової діяльності дитини, а на її результат. Тому головним результатом вважалась міцність засвоєння певної суми знань та фактів.
При розвивальному навчанні ставиться наступна мета: не тільки забезпечити засвоєння дитиною наукових знань, але й добитися того, щоб на кожному уроці учень оволодівав, а потім поступово використовував й самі способи добування знань. Розвивальне навчання, за означенням психолога І.С.Якиманської, характерне тим, що учень оволодіває самою навчальною діяльністю. Отже, першим атрибутом поняття “розвивальне навчання” є наявність усвідомленої розвивальної мети.
Другою ознакою є інтенсивність.  При будь-якому навчанні дитина розвивається,  але при розвивальному навчанні кроки в розвитку особистості більш помітні та значні.
Отже, розвивальне – це таке навчання, при якому форми, методи, прийоми та засоби викладання спрямовані не тільки на засвоєння знань (умінь, навичок),  але і інтенсивний всебічний розвиток учня, на оволодіння ним способами добування знань, розвиток його творчої активності. [5, 25]
Розвивальне навчання характерне тим, що навчальні предмети і математика зокрема повинні стати засобом розвитку учнів, а не лише джерелом поповнення знань.
 Аналіз робіт психологів (Л.С.Виготський, Л.М.Леонтьєв, С.Л.Рубінштейн, Ж.Піаже та ін.) дозволяє вважати, що розвиток – це кількісно – якісна зміна структури особистості, зв’язків між її компонентами, в ході якої особистість підіймається на більш високий рівень пізнання оточуючого світу, самої себе, регуляції своєї діяльності та поведінки.   
Л.С.Виготський висуває ідею психічного розвитку особистості не як спонтанного процесу, а як поетапного засвоєння учнем тієї культури, яка до його народження накопичена в суспільстві. Дитина народжується з задатками, які забезпечують їй можливість цього засвоєння.
Складні форми психічної діяльності (аналіз, синтез, абстракція, узагальнення і т.д.) спочатку існують у вигляді наочних дій з предметами  і постійно по мірі оволодіння мовленням перетворюються в розумові дії. Я.І.Грудьонов зазначає, що якщо “дитина на початку розвитку складних форм психічної діяльності спирається на використання зовнішніх засобів (“допоміжних стимулів”), то потім ці зовнішні засоби ніби “вростають”, стають внутрішніми інтереозуються, а разом з тим  перебудовуються і самі процеси, які раніше мали зовнішньо розгорнутий характер, тепер же стають згорнутими, внутрішньо опосередкованими актами”. [9, c. 90]
Отже, в навчанні    необхідно створювати такі зразки, орієнтири, моделі дій та результатів, які потім поступово стають внутрішніми розумовими діями. При цьому, вважає Л.С.Виготський, слід орієнтуватися на той рівень розвитку дитини, який поки не доступний їй, але можу бути досягнутий за допомогою дорослого. Рівень розвитку, якого дитина досягає самостійно, називається рівнем актуального розвитку. Потенційні можливості, які дитина може реалізувати в процесі навчання, тільки за допомогою дорослого, вчителя, в співпраці з ним, є зоною найближчого розвитку. Згідно концепції розвивального навчання, “педагогіка повинна орієнтуватися не на вчорашнє, а на завтрашній день дитячого розвитку”.  
Навчання повинно йти попереду розвитку. Досліди психологів показали що зміна змісту освіти, підвищення її теоретичного рівня сприяє розвитку дітей.
Реалізуючи на практиці ідею розвивального навчання Л.В.Занков висунув відповідні цій ідеї дидактичні принципи, які й покладено в основу удосконалення методів навчання.
Підвищення теоретичного рівня змісту навчання – перший принцип розвивального навчання. Більш високий теоретичний рівень знань, який необхідно засвоїти учню, об’єктивно сприяє інтенсифікації розвитку логічної пам’яті, операцій аналізу і синтезу, абстрагування та узагальнення.
Принцип навчання на високому рівні складності, доступному учням, характеризується не тим що підвищує “середню норму складності”, але передусім тим, що розкриває духовні сили дитини, дає їм простір та напрямок.
Саме цей принцип реалізує центральну ідею Л.С.Виготського про два рівні розвитку. Вчитель визначивши можливості кожного учня в самостійній діяльності, визначає міру своєї допомоги у відповідності з зоною ближнього розвитку. Саме навчання на цьому рівні є, на думку Ю.К.Бабанського, оптимальним. Таке навчання ще в більшій мірі актуалізує необхідність поєднання фронтальної роботи з диференціацією педагогічного впливу.
Третій принцип – швидкий темп навчання. Він потребує від вчителя вміння виділити головне в тому чи іншому матеріалі, та зосередити на його поясненні свою увагу і увагу учнів.
Далі, принцип усвідомлення учнями процесу навчання. Слід пам’ятати що навчання як діяльність можна схематично представити наступним чином: усвідомлення мети та задач  мотиви  способи  контроль та самоконтроль   оцінювання   результат.   Учень повинен добре розуміти мету та задачу уроку, він повинен захотіти вивчати матеріал, тобто мати позитивну мотивацію навчання; зрозуміти, якими способами він діє для досягнення поставленої мети; уміти проконтролювати правильність своїх досягнень, співвіднести результат зі способами та метою навчання.
П’ятим дидактичним принципом розвивального навчання є можливість розвитку всіх дітей, навіть найбільш слабких.
Досить  важливим для підвищення ефективності навчання є питання про критерії розвитку, тобто про виявлення таких показників, за якими можна сказати про успішність роботи вчителя по рівню розвитку учнів. Аналіз робіт Б.Г.Ананьєва, Н.Д.Левітова, Н.А.Менчинської, Д.Н.Богоявленського, В.В.Давидова, Л.В.Занкова, Є.М.Кабанової-Меллер та інших, дає основу виділити деякі критерії особистого розвитку і розвитку особистості в цілому. Перша група критеріїв охоплює деякі особливості мислення, а саме: 
1) самостійність мислення;
2) широта переносу прийомів розумової діяльності;
3) проникнення в суть понять, що вивчаються;  
4) швидкість розумової орієнтації при розв’язанні нестандартних задач. 
До другої групи критеріїв можна віднести якості аналізуючого спостереження, яке представляє собою синтез процесів, направлений на об’єкт сприйняття та мислення.
Третю групу критеріїв складають показники практичної діяльності учнів. Тут індикаторами успішності розвитку є антиципація (попереднє планування мети та операцій), самоконтроль в процесі діяльності, швидкість та чіткість всього процесу виконання, усний звіт про хід практичних дій.
Важливим показником розвитку є також усвідомлення учнями своїх мисленевих операцій. Цей критерій відносять до четвертої групи.
    
1.1.2. Оптимальний розвиток різних видів мисленевої діяльності.
Проблемність та інші принципи розвивального навчання не можуть бути реалізовані без врахування вікових та індивідуальних особливостей мислення дітей. В них розкривається стадійність розвитку інтелекту, дана характеристика кожної стадії в залежності від провідного виду мисленевої діяльності.
На першій стадії провідним є наочно-дійове, практичне мислення, яке здійснюється в конкретній ситуації в процесі практичних дій з реальними предметами.
На другій стадії переважає наочно-образне мислення;  воно дозволяє розв’язувати задачі на основі оперування уже не реальними предметами, а образами сприймання та уявлення, що містяться в дитячому досвіді.
На третій, вищій стадії розвитку провідну роль в мисленевій діяльності набуває абстрактно-теоретичне мислення. Мислення виступає тут у формі окремих понять та роздумів, що відображають суттєві сторони дійсності, яка пізнається, закономірні зв’язки між ними. Оволодіння в процесі засвоєння наук поняттями, законами, теоріями здійснює значний вплив на розумовий розвиток школярів. Воно розкриває великі можливості самостійного творчого набуття знань, їх широкого застосування на практиці.
Характеристика стадій мислення дозволила намітити основну лінію його розвитку – від практичного мислення, обмеженого конкретною ситуацією, до абстрактно-теоретичного мислення, яке безмежно розширює сферу пізнання, дозволяє виходити далеко за межі безпосереднього чуттєвого досвіду. Наочно-дійове мислення переважає в дошкільному віці. Для дошкільників та молодших школярів характерне наочно-образне, конкретне мислення.
Під впливом росту вимог до шкільної освіти, психологи почали досліджувати “зону найближчого розвитку” учнів. Була поставлена задача вияснити, які можливості мислення дітей, якщо так  змінити зміст та методи навчання, щоб вони активізували розвиток абстрактно-теоретичного мислення (В.В.Давидов, С.Ф.Жуйков, Л.В.Занков, А.В.Запорожець, А.А.Люблінська, Н.А.Менчинська, А.В.Скрипченко, Д.Б. Ельконін та ін.). Ці досліди спиралися на теоретичні положення про ведучу роль навчання в психічному розвитку, про те, що розумові здібності формуються в діяльності.
Відомо, що можливості дітей не безмежні, але при відповідній організації учбової діяльності вони можуть бути реалізовані в більшій мірі, ніж при раніше існуючій системі навчання. 
Установка на більш ранній розвиток понятійного мислення, на його формування, на основі руху “від абстрактного до конкретного” на практиці нерідко призводить  до недооцінювання ролі наочності, конкретизації знань, а також значення діяльності інших видів мислення. Не слід забувати про те, що абстрактно-теоретичне мислення, далеко виходячи за межі чуттєвого досвіду, тільки тоді володіє дійсною силою, дозволяє проникати в суть дійсності, що пізнається, коли воно нерозривно пов’язане з наочно-чуттєвими даними. Форсований розвиток мимовільного мислення без достатньої конкретизації матеріалу, який засвоюється, без зв’язку з наочно-практичним та наочно-образним мисленням, може призвести до формального засвоєння знань, до утворення порожніх абстракцій, що відірвані від живої дійсності.
Усвідомлення засвоєння знань, їх розуміння завжди означає включення нового матеріалу в систему вже набутих знань. Думка може бути засвоєна чи зрозуміла, казав І.М.Сєченов, - тільки такою людиною, у якої вона входить частиною в склад її особистого досвіду або в тій же самій формі, або ж на найближчих ступенях узагальнень. Якщо мислення учнів ще не досягло того рівня узагальнення, котрий потрібен для розуміння нового матеріалу, необхідно конкретизувати цей матеріал так, щоб потрібні зв’язки були встановлені.
Абстрактно-теоретичне мислення, включаючись в єдиний процес пізнання, перебудовує і наочно-дійове, практичне, і наочно-образне мислення, орієнтуючи їх на відображення найбільш суттєвих ознак, на проникнення в суть дійсності, яка пізнається, на перехід від суті першого порядку до суті другого порядку і т.д.
Гармонійний розвиток особистості передбачає активізацію всіх видів мислення, їх вдосконалення.
Необхідність розвивати різні види мисленнєвої діяльності витікає  і з специфіки продуктивного, творчого мислення. Процес відкриття нових знань і в учня, що вперше  пізнає давно відкриті людством  істини, і у вченого, що вперше проникає за межі відомого, не протікає у вигляді строгих логічних роздумів, безпосередньо спираючись на знайомі закономірності. Рішення проблеми нерідко відбувається інтуїтивно, і в цьому процесі важливу роль відіграють і практичне, і образне мислення, що безпосередньо пов’язані з чуттєвою опорою.
Розв’язання проблеми в вербальному аспекті, на основі теоретичних роздумів розгортається   поступово, крок за кроком. Людині неможливо при цьому охопити всі кроки, що робить перепону при  встановленні взаємозв’язків між ними. Включення в цей процес наочно-образного мислення дає можливість відразу охопити всі компоненти, що входять в проблемну ситуацію, а практичні дії дозволяють  встановити взаємозв’язки між ними, розкрити динаміку досліджуваного явища і тим самим полегшують пошук розв’язання.
Перевага практичних, образних чи понятійних видів мисленевої діяльності визначається не тільки специфікою проблеми що розв’язується, але й індивідуальними особливостями самих учнів.
Ось чому одним з найважливіших принципів розвивального навчання є оптимальний (той, що відповідає цілям навчання та психічним особливостям індивіда) розвиток різних видів мисленевої діяльності: і абстрактно-теоретичного, і наочно-образного, і наочно-діючого, практичного мислення.

§1.2. Розвиток мислення в процесі навчання математики
1.2.1. Види мислення
 В психології розглядають два види мислення – емпіричне та теоретичне. Емпіричне або наочне мислення має за свою кінцеву мету розпізнання та класифікацію предметів по їх зовнішніх ознаках. Психологічний аналіз цього виду мислення зводиться до виділення деяких мисленевих процесів (прийомів): абстракції та узагальнення, порівняння та класифікації. Теоретичне мислення – це передусім аналіз та синтез, а потім абстракція та узагальнення, що є похідними від них.
 Якщо предмет буде розглядатися сам по собі поза системою та зв’язками з іншими предметами, то він стане об’єктом емпіричного мислення. Прикладом може бути вивчення певної теми програми без встановлення її зв’язку з іншим матеріалом. Але якщо ця тема буде проаналізована з встановленням всіх необхідних зв’язків з іншими питаннями курсу, то вона стане об’єктом теоретичного мислення. [13, 6]
 Наприклад, в молодших класах вивчаються площі фігур, вводяться одиниці вимірювання, розв’язуються найпростіші задачі на знаходження площ, обчислюють і площу прямокутника.  Тут не встановлюються зв’язки з іншими розділами, немає поки перед посилань для створення системи знань про площі. Тому дана тема вивчається на рівні емпіричного мислення. Вже в старших класах проводиться повторення теми “Площі”, в тому числі і площі прямокутника. Тепер площа прямокутника - це частинний випадок площ многокутників. Сама ідея, принцип, що покладений в основу вимірювання площ прямокутників (многокутників), є частинним випадком більш загальної ідеї границь в вимірюванні площ. Отже, всі найважливіші поняття площі прямокутника можна розкрити тільки всередині загальної теорії площ, пов’язаної з поняттям границі. Тому площа прямокутника виступає тут як об’єкт теоретичного мислення. Використання того чи іншого рівня мислення залежить не тільки від віку учнів, але і від самої методики навчання. В 10-11 класах можливості  теоретичного мислення не завжди використовуються учнями. Наприклад, правила обчислення інтегралів можна завчити та успішно використовувати для розв’язування задач. Так само раніше можна було б зробити з правилами обчислення похідних та границь, послідовностей та функцій. А можна показати, що ці теми тісно пов’язані, в основі кожної з них лежать властивості границь функцій. На основі цих зв’язків встановити ієрархію, виділити особливості, привести знання в систему. В першому випадку теми вивчаються на емпіричному рівні, а в другому – на теоретичному.   

1.2.2. Особливості математичного мислення
Звичайно, говорячи про розвиток мислення в процесі навчання математики, це питання зводять до розвитку математичного мислення. Дійсно, що в процесі навчання математиці слід, в першу чергу, турбуватися не взагалі про розвиток мислення, а саме про розвиток специфічного математичного мислення. Нажаль, розглядаючи суть математичного мислення, або, як ще кажуть математичного стилю мислення, звичайно вказують велике число відмінних його якостей, що будь-яка специфіка цього виду мислення втрачається. Так, наприклад, вказують такі якості математичного стилю мислення: гнучкість, активність,  цілeнаправленість, готовність пам’яті до відтворення засвоєного, широта, глибина, критичність та самокритичність, ясність, точність, лаконічність, оригінальність, доказовість.
Математичний стиль мислення володіє всіма цими якостями і ще багатьма іншими, але всі вони не являються специфічними для математичного мислення. Оскільки воно не відрізняється від мислення представників інших наук більшою ясністю чи оригінальністю. Наукове мислення в будь-якій галузі знань повинно володіти всіма вказаними властивостями.
А.Я.Хинчин, відомий радянський математик, вказав лише чотири характерних ознаки математичного мислення:
1) “Для математика характерно доведене до межі домінування логічної схеми роздумів... Ця своєрідна риса стилю математичного мислення, в такій повній мірі не зустрічається в жодній іншій науці, має в собі багато цінного. Очевидно, що вона в максимальному степені дозволяє слідкувати за правильністю розвитку думки та гарантує безпомилковість; з іншого боку вона заставляє того, хто мислить при кожній диз’юнкції мати перед очима всю сукупність можливостей і змушує його врахувати кожну з них, не пропускаючи жодної ”.
2) “...лаконізм, усвідомлене прагнення завжди знаходити найкоротший ведучий до даної мети логічний шлях, відкидання всього, що не абсолютно необхідне для бездоганної аргументації”.
3) “Чітке розчленування ходу аргументації”. Для цього в математичних роботах широко використовується такий простий прийом, як нумерація понять та суджень, а перед кожним абзацом ставиться позначка, яка вказує, який випадок розглядається в даному абзаці.
4) Скрупульозна точність символіки. “Кожний математичний символ має строго визначене значення: заміна його іншим або перестановка на інше місце, як правило, веде за собою викривлення, а іноді і повне знищення смислу даного висловлення”.
Якості математичного мислення, що вказані  А.Я.Хинчиним відображають лише зовнішні особливості математичного стилю мислення. Вказані риси стали притаманні і стилю багатьох інших наук, не тільки  природничих, але й таких як лінгвістика, економіка, семантика і т.д.
Л.С.Тригуб вважає, що методи пізнання, які лежать в основі математики, є загальними методами людського пізнання.
Специфіку математичного мислення слід шукати не в методах, які дійсно широко нині використовуються в інших науках, і тому отримують все більший і більший статус всезагальних методів пізнання, а в  об’єктах.
“Особливістю математичного об’єкту, - вказує А.К.Сухотін, - є те, що він відволікання не просто властивості, а властивості властивостей і тому представляє абстракцію від абстракції, або “узагальнюючу абстракцію”.
Математичні об’єкти позбавлені будь-яких матеріальних та енергетичних характеристик, маючи лише одну характеристику: ці об’єкти знаходяться в певних відносинах один з одним, кількісних просторових та їм подібних. Тому А.Пуанкаре заявив: “Математик вивчає не предмети, а лише відношення між предметами; отже для нього немає значення, чи будуть дані предмети замінені іншими, лише б тільки не змінилися при цьому їх співвідношення”.
Отже, математичне мислення це гранично абстрактне, теоретичне мислення, об’єкти якого позбавлені будь-якої матеріальності  і можуть інтерпретуватися довільним чином, тільки б при цьому зберігалися задані між ними відношення.
А.А.Столяр виділив рівні математичного мислення. Він вказує наступні п’ять рівнів в геометрії та алгебрі.   

А.А. Столяр вказує, що перші два рівні характерні для учнів початкових класів, третій рівень – для учнів основної школи, четвертий  (в області геометрії) - для учнів старших класів. Що стосується алгебри, то “на відміну від викладання геометрії традиційне викладання алгебри не підіймається вище третього рівня”.
Відносно п’ятого рівня А.А.Столяр вважає, що його досягнути неможливо на жодному етапі навчання геометрії і тим паче алгебри. Але це спростовується досвідом ряду шкіл як у нас, так і за кордоном, а також багаторічними експериментами, що проводилися в руслі теорії учбової діяльності (дослідження В.В.Давидова, Я.Дадоджанова, Хо Нгок Дай та ін.). 

1.2.3. Шляхи формування прийомів розумових дій
 Робота по цілеспрямованому формуванню у школярів системи прийомів розумової діяльності та навчальної роботи повинні займати провідне місце в процесі навчання на уроці математики.
Розрізняють декілька шляхів формування прийомів. Стихійний шлях полягає в тому, що на уроці не ставиться окрема мета формування певного прийому в процесі засвоєння знань. В основі цього шляху – апріорна установка, яка пролягає в тому, що в процесі засвоєння знань саме по собі розвивається і мислення школярів, тобто формуються окремі прийоми.
Другий шлях – опосередкований. Він полягає в тому, що вчитель ставить на уроці як окрему мету формування певних прийомів в процесі засвоєння знань. При цьому зміст навчання, учбового матеріалу, типів вправ підбирається спеціально.
Прямий шлях полягає в цілеспрямованому формуванні певних структур розумової діяльності. Таке цілеспрямоване формування здійснюється в умовах спеціально організованої діяльності учнів.    Вчитель виділяє на уроці мету формування певного прийому паралельно з засвоєнням знань. Він знайомить учнів одразу зі структурним складом прийому, його суттю, алгоритмом, правилом-орієнтиром (Додаток 1). Пояснює роль прийому в процесі навчання. Після чого виробляються навички володіння даним прийомом в процесі засвоєння конкретного програмного матеріалу.  
 
1.2.4. Виховання культури мислення
Математичне мислення, яке повинне бути сформоване в учнів в процесі навчання математики, є складовою частиною загальної культури мислення, виховання якої – найважливіша задача загальної освіти. Математичний стиль мислення в найбільш яскравій формі виражає науково-теоретичний стиль мислення взагалі. Отже, при формуванні такого стилю мислення в процесі навчання математиці в учнів розвивається і науково-теоретичне мислення.
Культура мислення, окрім науково-теоретичного характеру, відрізняється ще рядом інших ознак, серед яких слід виділити розумність, логічність та дисциплінованість.
Мислення людини тільки тоді можна вважати культурним, коли воно здійснюється в повній відповідності з законами логіки. Ці закони встановлюють норми міркувань, що забезпечують отримання з істинних посилань правильних висновків.    
Ось чому не менш важливі, ніж розумність і інші риси культури мислення: логічність та дисциплінованість. Природно, що логіка мислення не дана людині від народження, нею вона оволодіває в процесі життя, в навчанні. І роль навчання математики в  вихованні в учнів логічного мислення велика хоча б тому, що математика, як ніякий інший предмет, може бути названа прикладною логікою. В математиці учень з найбільшою повнотою, найбільш випукло та очевидно може побачити демонстрацію майже всіх основних законів елементарної логіки.
Дисципліна мислення передбачає, по-перше, аналіз об’єкту думки, по-друге, планування на основі цього аналізу своєї мисленевої діяльності, і по-третє, покроковий самоконтроль і самооцінку виконаної діяльності з метою встановлення відповідності складеному плану і його коректування при необхідності.
Які ж шляхи та засоби виховання культури мислення учнів в процесі навчання математиці? Тут не місце обговорювати конкретні питання методики організації такого виховання, вкажемо лише деякі загальні положення:
1. Процес виховання культури мислення – довготривалий, який протікає протягом всього життя людини. Тому в процесі навчання математиці цим вихованням слід займатися протягом всіх років навчання в школі, щоденно і на кожному уроці. Вчитель математики має для цього багато можливостей, бо вивчення математики потребує високої культури мислення.
Про роль математики в вихованні культури мислення дуже образно казав М.І.Калінін: “Математика дисциплінує розум, привчає до логічного мислення. Недарма кажуть, що математика – це гімнастика розуму. Я не сумніваюсь, що голова у вас болить від думок, але ці думки треба впорядкувати, дисциплінувати, направити, якщо можна так сказати, в русло корисної роботи. Саме математика і допоможе вам справитись з цією задачею. ” 
І.Л.Нікольська встановила експериментально, що короткочасне навчання логічним поняттям не дає помітного ефекту. Такого ефекту можна досягнути, якщо навчання логічним поняттям проводити протягом тривалого часу, коли ці поняття органічно вплетені в курс математики.
2. Важливо, щоб вчитель математики, шкільні підручники демонстрували зразки культури мислення. Адже учні в своїй мисленевій діяльності наслідують вчителя, підручники.
3. Культурі мислення можна навчити учня  лише тоді, коли він сам буде працювати над оволодінням цієї культури, над постійним її вдосконаленням. Тому дуже важливо включити учнів в активну роботу по самовихованню, домогтися, щоб вони розглядали виховання культури мислення як особисто значущу задачу. Звісно, вчитель математики повинен допомагати кожному школяреві в цій важкій праці: повинен постійно слідкувати за ходом мисленевої діяльності учня, за кожним його висловленням (усним та письмовим), вказувати тактично на допущені недоліки мислення, показувати, в  чому вони полягають, які закони мислення порушені і як слід ці висловлення виправити, щоб вони прийняли культурну форму.
4. Для того, щоб уміння та навички культури мислення учнів були усвідомленими, адже тільки в цьому випадку вони будуть ефективними та міцними, і для того, щоб дати учням спосіб орієнтування в виконанні розумових дій, необхідно включити в зміст навчання математиці систему певних теоретичних знань. 
В цю систему входять знання про суть логічних форм і законів, що широко використовуються в шкільному курсі математики (означення, аксіоми, теореми, доведення, класифікація і т.д.). При цьому ці знання повинні включатися в навчання по мірі зустрічі з відповідним логічним поняттям і вивчатися неодноразово.
Для виховання дисциплінованості мислення учнів, для більш глибокого оволодіння ними розумових  дій,  потрібно застосувати деякі положення теорії поетапного формування розумових дій [21]. Мається на увазі в першу чергу положення цієї теорії про те,  що при виконанні любої розумової дії людина спирається на певну систему орієнтирів, при цьому реальна система орієнтирів може не співпадати з об’єктивно необхідною системою, і в цьому випадку неминучі помилки або повна нездатність виконання дії.
Наприклад,  багато учнів допускають помилки в порядку виконання дій в складних вправах на обчислення. Однією з причин цих помилок є те, що учні користуються лише одним орієнтиром: виконувати дії в тому порядку, в якому вони записані, тобто користуються реально неповною, і тому невірною системою орієнтирів по виконанню цих дій.
Отже, необхідно, щоб учні оволодівали правильною і повною системою орієнтирів – орієнтовною основою дії (ООД) по використанню логічних форм і правил.
ООД в залежності від характеру дії може бути дана в вигляді алгоритму чи евристичної схеми.
Наприклад, евристична схема розумової дії розпізнання належності об’єкту до вказаного поняття (множини).
Задача полягає в тому, щоб встановити чи належить даний об’єкт до вказаного поняття.  Наприклад, потрібно дізнатися, чи є даний чотирикутник паралелограмом.
Для розв’язання таких задач можна разом з учнями скласти наступну евристичну схему розпізнання:
1) Вибрати зручне означення поняття чи загальну необхідну і достатню умову.
2) Проаналізувати вибране означення (умову) і виділити в ньому всі ознаки поняття.
3) Встановити, якими логічними зв’язками зв’язані між собою ці ознаки.
4) Якщо всі зв’язки типу “і”, то перевірити виконання для даного об’єкту всіх ознак, якщо хоча б одна не виконується, то об’єкт не належить до вказаного поняття; якщо ж всі ознаки виконуються, то встановлюється належність до поняття.
5) Якщо ж деякі ознаки зв’язані зв’язками типу “або”, то для належності об’єкту до поняття достатньо виконання хоча б однієї з цих ознак.
Цю схему зручно зобразити у вигляді граф-схеми. Наприклад, граф-схема розпізнання розміщення на основі його означення (мал.1).  

Знак “+” означає, що відповідна ознака виконується, а знак “  ”, що ознака не виконується.
Досвід та експерименти показують що такі схеми та графи легко засвоюються учнями, які з цікавістю займаються їх побудовою та використанням в своїй роботі. Мислення учнів при використанні таких схем стає більш дисциплінованим, більш розумним.

 
Розділ 2. Методика формування загальних і  спеціальних прийомів розумових дій в курсі алгебри та початків аналізу в класах з поглибленим вивченням математики
§2.1. Зміст курсу алгебри і початків аналізу. Вимоги до знань і вмінь
У курсі алгебри і початків аналізу далі розвиваються основні змістові лінії курсу алгебри і завершується розробка аналітичного апарату, що застосовується в предметах природничо-математичного циклу. Чималу частину цього курсу становлять початки диференціального й інтегрального числення, які завершують в шкільному курсі вчення про функцію. Поняття про методи диференціального й інтегрального числення відкривають широкі можливості для застосування математики в різних галузях науки і практики, формують науковий світогляд, дають можли¬вість складати і розв'язувати моделі задач, що характеризують різноманітні процеси.
Лінія тотожних перетворень розвивається у зв'язку з вивчен¬ням тригонометричних, показникової, логарифмічної та степене¬вої функцій. Формули тригонометрії, показникові та логарифміч¬ні тотожності, тотожності, пов'язані з ірраціональними виразами, застосовуються для спрощення виразів, доведення тотожностей, розв'язування рівнянь, нерівностей та їх систем, побудови графі¬ків складних функцій.
Лінія рівнянь і нерівностей не тільки розвивається у зв'язку з вивченням властивостей функцій, зазначених у програмі, а й ви¬ступає самостійними темами (тригонометричні рівняння, роз¬в'язування показникових, логарифмічних рівнянь, нерівностей та їхніх систем).
Під час вивчення курсу алгебри і початків аналізу с широкі можливості для реалізації міжпредметних зв'язків. У геометрії тригонометричні функції використовуються для розв'язування задач, похідна та інтеграл - для обчислення об'ємів і розв'я¬зування задач на найменші і найбільші значення геометричних величин. У фізиці дослідження функцій застосовується при ви¬вченні електродинаміки і оптики, похідна і диференціальні рів¬няння - під час вивчення явищ радіоактивного розпаду. Багато понять курсу алгебри і початків аналізу, зокрема границя, не¬перервність, похідна; є основою для постановки задач у курсі інформатики. У курсі алгебри і початків аналізу є можливість крім традиційних засобів навчання використовувати нові інфор¬маційні технології, зокрема персональні комп'ютери, мікрокаль¬кулятори. У результаті вивчення курсу учні мають опанувати такі знання і уміння на рівні обов'язкової підготовки:
1) мати уявлення про тригонометричні, показникову, логариф¬мічну і степеневу функції, знати їх властивості та, спираючись на них, будувати графіки цих функцій;
2) знати основні тригонометричні, показникові й логарифмічні тотожності та вміти виконувати на їх основі тотожні перетворен¬ня відповідних виразів;
3) розв'язувати найпростіші тригонометричні, показникові й ло¬гарифмічні, ірраціональні рівняння і нерівності, використовуючи тотожні перетворення;
4) мати уявлення про похідну, первісну та інтеграл, вміти знахо¬дити їх за допомогою таблиць та вивчених правил, застосовувати до дослідження функцій і побудови графіків, обчислення площ криволінійних трапецій та об'ємів найпростіших тіл обертання.

§2.2. Пропедевтика формування розумових дій в курсі основної школи
 В курсі математики основної школи (5-9 кл.) формування прийомів розумової діяльності  відбувається опосередковано або  стихійно (п.1.2.1.). Проілюструємо склад загальних розумових дій при формуванні понять.
1. Формування поняття паралельних прямих на площині.
Пропонуємо учням розглядати все можливі положення двох прямих на площині. На дошці зображені пари прямих, що перетинаються та прямих що не мають  спільних точок (мал. 2). При цьому пари прямих займають різне положення на площині. Учні виділяють пари прямих, які мають суттєві загальні ознаки: один клас пар прямих, що перетинаються і другий    прямі, що не перетинаються.

Виділяючи пари прямих, що не перетинаються, учні проводять аналіз. Об’єднуючи ці пари в клас, виконують синтез. Називаючи загальну суттєву ознаку (не перетинатися), учні відволікаються від несуттєвого