Курсова робота із спеціальності  “Операційний менеджмент”

Зміст

Вступ …………………………………………………………………….. ..3
Розділ 1. Черги. Проблеми керування чергами …………………………4
1.1 Економічна сутність проблеми черг …………………………….....4
1.2 Вхідний потік заявок клієнтів ………………………………………8
1.2.1 Експонентний розподіл ………………………………………...10
1.2.2 Розподіл Пуассона ……………………………………………...11
1.2.3 Інші характеристики вхідних потоків ………………………....13
1.3 Характеристика черг ……………………………………………….15
1.4 Структура черг ……………………………………………………..18
Розділ 2. Моделі черг ……………………………………………………22
2.1 Ціль аналізу черг …………………………………………………22
2.2 Характеристика моделей черг …………………………………..23
Висновки …………………………………………………………………29
Література ………………………………………………………………..31

Вступ

Черги й керування ними - один з найважливіших аспектів операційного менеджменту.

Знати, як керувати ними, необхідно при складанні графіків, проектуванні операцій,

плануванні товарно-матеріальних запасів і т.д. Сьогодні кожна людина користується

послугами сервісних фірм, і нам доводиться стояти в чергах практично щодня: чи то в

автомобільній "пробці", добираючись на роботу, чи то до каси супермаркету. Черги

існують і на виробничих підприємствах: деталі повинні чекати обробки на тім або іншому

верстаті, а верстати чекають своєї черги на капітальний ремонт. Іншими словами, черги

всюдисущі, а проблема керуванням чергою дуже актуальна на сьогоднішній день.
Потужним математичним інструментом для аналізу багатьох найбільш частих сервісних

ситуацій є моделі черг. Ці моделі дозволяють більш точно відповісти на такі питання, як,

наприклад, скільки клерків повинно працювати в залі банку або скільки телефонних ліній

варто мати в торговельному підприємстві типу "замовлення-поштою" і т.п.
Формули, розроблені на основі теорії черг, дозволяють плановикам аналізувати сервісні

потреби й планувати пропускну здатність сервісних підприємств відповідно до конкретних

умов.
Об'єкт дослідження – черги в операційному менеджменті.
Ціль курсової роботі розглянути основні аспекти проблеми черг і завдання, пов'язані з

керуванням чергами.
Для досягнення мети роботи були поставлені й вирішені наступні завдання:
- визначена економічна сутність черг, їх структура, класифікація та характеристика;
- досліджені основні моделі управління чергами.
Який методичний інструментарій застосовувався: системний підхід, синтез, методи

економіко-статистичного аналізу.
Розділ 1.
Черги. Проблеми керування чергами

1.1 Економічна сутність проблеми черг

Практично в будь-якій ситуації, пов'язаній із чергами, основним є пошук компромісного

рішення. Менеджер повинен оцінити, як співвідносяться між собою додаткова вартість,

необхідна для прискорення процесу обслуговування (наприклад, будівництво додаткових

автомобільних смуг і посадкових смуг в аеропорті, додавання пунктів розрахунку в

універмазі й т.п.), і витрати, пов'язані з очікуванням у черзі.
У реальних умовах ухвалення компромісного рішення в завданнях масового

обслуговування часто не така вже складна проблема. Так, наприклад, якщо в результаті

аналізу з'ясовується, що загальний час, що проводять службовці компанії, очікуючи черги

до копіювального апарату, можна використовувати на виконання основних операцій,

керівництву варто зрівняти витрати на установку додаткового ксерокса з вартістю

зекономленого завдяки цьому робочого часу. Результати такого аналізу легко

представляються в грошовому вираженні, і ухвалення компромісного рішення в цьому

випадку буде досить легким завданням.
У лікарні також існує проблема черги пацієнтів, що пов'язана з потребою в ліжко-місцях.
Для рішення цієї проблеми можна розширити лікарню й обчислити вартість додаткових

ліжко-місць, склавши вартості будівництва нових приміщень, додаткового устаткування й

суми, на яку підвищаться витрати на утримування хворих. Але що ж буде противагою

вартості додаткових ліжко-місць? У цьому випадку доводиться зіштовхуватися з тим, що

важко знайти грошовий еквівалент, що відображає потребу пацієнта в лікарняному ліжку.

Дійсно, прибуток лікарні, що втрачається оцінити можна, але як бути із втратами

гуманітарного характеру, пов'язаними з неповноцінним медичним обслуговуванням [13,

192]?
На рис. 1.1 для стійкого потоку клієнтів показані залежності витрат, пов'язаних з

обслуговуванням черги, від збільшення пропускної здатності системи обслуговування.
 
Рис. 1.1. Визначення оптимальної пропускної здатності каналу обслуговування

При малій пропускній здатності каналу обслуговування вартість перебування в черзі

максимальна. У міру збільшення пропускної здатності кількість клієнтів в черзі й час

їхнього очікування скорочуються, що приводить до зниження витрат, пов'язаних із

чергами. Апроксимацію витрат перебування в черзі часто представляють у вигляді

негативної експонентної функції. Витрати на збільшення пропускної здатності зростають

рівномірно й східчасто, але для спрощення в даному прикладі вони відображені лінійною

функцією. Сукупні або сумарні витрати мають вигляд U-Образної кривої, характерної для

завдань, пов'язаних зі зрівноважуванням показників. Оптимальні витрати відповідають

крапці перетинання кривої вартості перебування в черзі й витрат на збільшення

пропускної здатності.
Розглянемо проблему черг із якісної сторони. На рис. 1.2 показаний вхідний потік заявок

на обслуговування сервісного підприємства (наприклад, банку) і сервісні можливості цього

підприємства (наприклад, кількість касирів і банківських службовців по наданню позичок)

[13, 193].
 
                             Рис. 1.2.Заявки на обслуговування

Однією з найважливіших змінних є обсяг вхідного потоку заявок за конкретний період часу

роботи сервісної системи. У системі надання послуг зміна споживчого попиту приводить

до зміни обсягу наданих послуг, часто перевищуючи нормальну пропускну здатність. Існує

кілька способів керування вхідними потоками. Так, наприклад, можна навмисно скоротити

довжину черги (наприклад, відвести кілька майданчиків у ресторані, що спеціалізується на

обслуговуванні в автомобілях); ввести конкретні години для конкретних категорій

відвідувачів, запропонувати спеціальні послуги. Якщо ж говорити про властиво канали

обслуговування, то можна впливати на час обслуговування, використовуючи для цього

більш швидкі або повільні канали, різне устаткування, інструментарій, матеріали, різне

розташування приміщень, різний час налагодження устаткування й т.д.
Існування черг - це нормальний стан виробничої системи; ними досить ефективно можна

управляти за допомогою засобів системного менеджменту й проектування.
Як видно з рис. 1.3, типова система масового обслуговування  складається із трьох

основних компонентів [2, 201]:
• вихідної  генеральної  сукупності  користувачів  (клієнтів) розглянутої сервісної системи;
•    сервісної системи;
•  сценаріїв виходу клієнтів із сервісної системи (вернутися назад у вихідну генеральну

сукупність або покинути її?).
 
Рис. 1.3. Компоненти системи масового обслуговування

Відомий дослідник теорії черг професор Ричард Ларсон і його колеги запропонували дуже

корисні рекомендації для керування чергами, засновані на результатах вивчення роботи

сервісних установ [12, 5].
Нижче представлені досить корисні рекомендації для керування чергами, що випливають

із аналізу кількісних моделей черг.
1. Визначите прийнятний час очікування для своїх клієнтів. Скільки готові чекати ваші

клієнти? На основі цієї оцінки визначите вимоги до операцій.
2. Постарайтеся відволікати увагу клієнтів у процесі очікування в черзі. Прослуховуючи

музику, переглядаючи фільм по відео або розважаючи клієнтів будь-яким іншим засобом,

ви зможете відволікти їхню увагу від думок про необхідність стояти в черзі.
3. Інформуйте клієнтів про ситуацію.  Це особливо важливо, якщо черга перевищує

звичайні розміри.  Пояснюйте клієнтам причину сформованої ситуації й розповідайте, що

конкретно робиться для прискорення процесу обслуговування.
4. Не розміщуйте службовців, що не займаються безпосереднім обслуговуванням клієнтів,

на очах черги. Ніщо так не дратує людей у черзі, як вигляд працівників, які потенційно

могли б їх обслуговувати, але займаються іншими справами.
5. Розбийте чергу. Якщо можна виділити групу клієнтів, обслуговування яких займає

небагато часу, об'єднаєте їх в окрему чергу, щоб їх не затримували ті, на роботу з якими

буде потрібно багато часу.
6. Підготуйте обслуговуючий персонал до роботи з людьми, навчить його бути ввічливим і

дружелюбним. Звертання до клієнта по ім'ю або які-небудь інші індивідуальні знаки уваги  

дуже   сприяють   усуненню   негативної   атмосфери   в   довгій   черзі.
7. Стимулюйте відвідування підприємства в періоди затишку. Інформуйте клієнтів про час,

коли у вас практично не буває черг; повідомляйте їм і про періоди, коли наплив

відвідувачів особливо великий. Це дозволить вам згладити навантаження.
8. Підходите до завдання скорочення черг із погляду перспективи. Розробляйте плани

альтернативних способів обслуговування клієнтів. Якщо можливо, розробіть плани

автоматизації   або   прискорення   процесу   обслуговування.    Це    однак    не   

означає,    що автоматизацію варто проводити за рахунок скорочення індивідуальної

уваги до відвідувачів, оскільки деякі клієнти чекають від сервісного підприємства, крім

усього іншого, ще й доброго відношення.

1.2 Вхідний потік заявок клієнтів

Джерелом вхідного потоку заявок у сервісну систему може бути кінцева або нескінченна

генеральна сукупність (популяція) клієнтів. Таке розмежування необхідно, оскільки аналіз

кінцевих і нескінченних генеральних сукупностей ґрунтується на різних вихідних

передумовах і проводиться з використанням різних рівнянь і формул.
Терміном кінцева генеральна сукупність (популяція) описується обмежена сукупність

користувачів, які час від часу будуть створювати черги. Кінцева генеральна сукупність

характеризується тим, що, коли користувач залишає своє місце у вихідній сукупності

(наприклад, верстат ламається й має потребу в ремонті) і число користувачів у вихідній

генеральній сукупності скорочується на одну одиницю, це приводить до зниження

ймовірності появи наступної заявки на обслуговування. І навпаки, після того як клієнта

вже обслужили, генеральна сукупність знову збільшується й ймовірність появи заявки на

обслуговування зростає, тому що в майбутньому цьому клієнтові знову може знадобитися

дана послуга. Для рішення завдань такого роду необхідний набір формул, відмінний від

тих, які застосовуються при аналізі нескінченної генеральної сукупності.
Передбачається, що нескінченна генеральна сукупність користувачів настільки велика,

що зміна її розмірів внаслідок прибуття (тобто появи клієнта, що має потребу в послузі)

або повернення клієнта якого вже обслужили у свою вихідну сукупність не робить

істотного впливу на ймовірність появи заявки на обслуговування. Формули для рішення

завдань, пов'язаних з "нескінченними" чергами, можуть застосовуватися, наприклад, при

аналізі роботи лікаря, що обслуговує 1000 пацієнтів, або великого універмагу з потоком в

10 тисяч покупців [10, 543].
Для вибору параметрів системи керування чергами спочатку варто визначити спосіб, за

допомогою якого заявки, що очікують (вимоги) організуються для наступного

обслуговування.
У формулах для аналізу черг використовується такий показник, як інтенсивність вхідного

потоку, тобто кількість заявок, що надійшли, за певний період часу (наприклад, середнє

число заявок за півроку). На практиці розрізняють рівномірний і довільний розподіли

вступника потоку заявок. Рівномірний розподіл вхідного потоку характеризується чіткою

періодичністю, тобто рівними інтервалами часу між   вхідними  заявками, що ідуть підряд.
У виробничих системах такими потоками можуть бути тільки ритмічні процеси й ними

можна керувати автоматично. Значно більш поширений довільний (змінний) розподіл

вхідних потоків заявок.
При розгляді вхідних потоків заявок у сервісну систему варто враховувати два основних

моменти. По-перше, необхідно проаналізувати інтервали часу між двома наступними

підряд вхідними заявками й визначити закон їхнього статистичного розподілу. Звичайно

приймається до уваги, що інтервали між вступними заявками на обслуговування

розподіляються експоненціально. По-друге, можна встановити певний період часу Ф й

спробувати визначити, скільки заявок може надійти в систему за цей період Т. Для цього

найчастіше використовується розподіл Пуассона.

1.2.1 Експонентний розподіл

Якщо заявки на обслуговування надходять у сервісну систему абсолютно довільно,

тимчасові інтервали між сусідніми заявками розподіляються за експонентним законом

(рис. 1.4).
 
Рис. 1.4. Експонентний розподіл

Функція розподілу ймовірностей у такому випадку має вигляд:

                                                                           (1.1)

де λ — середня кількість заявок, що надходять за певний період часу.
Інтегруючи криву (1.1), тобто  , в області позитивних значень, можна обчислити

ймовірність появи вхідних заявок за певний період часу. Так, наприклад, за умови

надходження в чергу однієї заявки в одиницю часу (λ = 1) можна утворити наведену нижче

табл. 1.1, значення для якої отримані з формули  . У другому стовпці цієї таблиці наведені

ймовірності того, що наступна вхідна заявка надійде більш ніж через t хвилин після

попередньої. У третьому стовпці наведені ймовірності появи наступної вхідної заявки

протягом t хвилин (вони обчислюються вирахуванням зі стовпця 1 значень стовпця 2).
Таблиця 1.1
t (хвилини) Вірогідність появи наступної заявки через t хвилин Вірогідність появи

наступної заявки в плині t хвилин
[1 – стовбець (2)]
(1) (2) (3)
0 1,00 0
0,5 0,61 0,39
1,0 0,37 0,63
1,5 0,22 0,78
2,0 0,14 0,86

1.2.2 Розподіл Пуассона

Щоб знайти число заявок, що поступають протягом певного періоду Т, необхідно

скористатися розподілом Пуассона, наведеним на рис. 1.5. Воно отримано обчисленням

ймовірності появи n подій (заявок) протягом періоду Т за умови, що поява подій носить

довільний характер. [11, 286]
 
Рис. 1.5. Розподіл Пуассона

Закон розподілу ймовірностей Пуассона описується формулою

                                                                         (1.2)

Стосовно до розглянутої проблеми черг формула (1.2) відображає ймовірність

надходження конкретного числа n вхідних заявок за певний період часу T1. Так,

наприклад, якщо середня інтенсивність вхідні в систему потоку дорівнює трьом заявкам у

хвилину (λ = 3) і потрібно визначити ймовірність того, що протягом хвилинного періоду в

систему надійдуть саме п'ять заявок (λ = 5, Т= 1), то одержуємо
                    
Отже, у будь-який хвилинний інтервал у сервісну систему надходить 5 заявок з імовірністю

10,1%.
Розподіл Пуассона графічно частіше відображається у вигляді плавної кривої, як,

наприклад, показано на рис.1.5, однак фактично воно дискретно. (Крива згладжується в

більшій мері при збільшенні значення n.) Розглянутий нами розподіл може бути тільки

дискретним, оскільки n у розглянутому випадку визначає кількість заявок, що надходять у

сервісну систему, а отже, обов'язково повинне бути цілим числом (наприклад, не може

бути 1,5 заявки).
Експонентний й пуассоновський розподіли взаємозалежні. Середнє значення й дисперсія

розподілу Пуассона однакові й рівні λ.
Середнє значення експонентного розподілу дорівнює  , а дисперсія -   . (Інтервали між

двома вхідними заявками розподіляються експоненціально, а кількість заявок в одиницю

часу - відповідно до розподілу Пуассона.)

1.2.3 Інші характеристики вхідних потоків

Іншими важливими характеристиками вхідних потоків є (рис.1.6):
- вид вхідного потоку;
- розмір одиниці вхідного потоку заявок і рівень терплячості клієнтів. 
 
Рис. 1.6. Характеристики вхідного потоку заявок клієнтів

Вхідні в систему потоки набагато краще піддаються керуванню, ніж прийнято вважати.

Так, наприклад, перукар може знизити інтенсивність вхідного потоку в суботу (і,

найчастіше, перемістити його на інші дні тижня), збільшивши ціну стрижки або стягуючи за

стрижку дитини "дорослу" ціну. Магазини проводять сезонні розпродажі в періоди затишку

або одноденні розпродажі частково для регулювання потоку покупців. З такою ж метою

авіалінії пропонують своїм пасажирам сезонні знижки й знижені розцінки для туристів.

Найпростіше управляти вхідними потоками, призначивши конкретні години роботи

підприємства.
Однак у деяких сервісних організаціях попит некерований, як, наприклад, потреба в

невідкладній медичній допомозі в міській лікарні. Однак навіть у таких ситуаціях вхідними

потоками в пункти швидкої допомоги конкретних лікарень до деякої міри можна

управляти, наприклад, інформувати водіїв машин, що працюють у конкретному районі, про

ступінь завантаженості різних лікарень.
Одиночна заявка розглядається як одиниця виміру потоку (тобто найменше можливе

число). Так, наприклад, одиночна заявка потоку на яйцепереробній фабриці може бути як

десяток яєць, так і лоток на 2,5 десятка яєць; одиночна заявка в ресторан - один

відвідувач. Групова заявка містить у собі безліч одиниць, наприклад, лот акцій з 10

пакетів (1000 акцій), ящик з лотків яєць або компанія з п'яти чоловік, що прийшла в

ресторан. [13, 198]
Терплячою називають заявку клієнта, що буде очікувати моменту надання послуги

сервісним підприємством стільки часу, скільки необхідно. Відповідно до теорії черг, навіть

якщо клієнт поводиться нетерпляче й виражає своє невдоволення, вже той факт, що він

проте продовжує очікувати, дозволяє назвати його терплячим.
Існує два типи нетерплячих вхідних потоків. Клієнти (заявки) першого типу прибувають у

систему обслуговування, оглядають її й чергу й вирішують негайно піти. До другого типу

відносяться ті, хто прибуває, знайомиться із ситуацією, стає в чергу й потім, постоявши

якийсь час, все-таки йде. Поведінку першого типу називають неприєднанням до черги, а

другого - переоцінкою умов очікування.
1.3 Характеристика черг

Основними елементами системи масового обслуговування є черги (або кілька черг) і

канали обслуговування, що є в наявності. Розглянемо основні характеристики черг і

правила керування ними, а також проаналізуємо структури черг.
Основними характеристиками черг є:
- довжина черги;
- кількість черг ("хвостів");
- дисципліна черги.
З практичної точки зору нескінченною називається будь-яка черга, довжина якої в

порівнянні із пропускною здатністю сервісної системи дуже велика. Можливими

прикладами нескінченної черги можуть бути дорожні пробки, що розтяглися на кілька

кілометрів, або черга в театральну касу на кілька кварталів.
Автозаправочні станції, завантажувальні доки й автомобільні стоянки мають обмежену

пропускну здатність обслуговування черг, що регулюються юридичними нормами або

технічними можливостями. Обмежена пропускна здатність накладає відбиток на

керування чергами й одночасно викликає перерозподіл вхідного потоку. Клієнти, яким

було відмовлено у входженні в конкретну чергу внаслідок недоліку місця, можуть

приєднатися до даної генеральної сукупності пізніше, а можуть знайти іншу сервісну

систему й вийти з генеральної сукупності розглянутої сервісної системи. І такі дії клієнтів

приводять до зовсім різних результатів.
Черга називається однолінійною, якщо сервісна система працює з одною чергою,

вибудуваною в одну лінію. Багатолінійні черги складаються із двох або декількох

однолінійних черг, що утворяться до двох або декількох каналів обслуговування. До них

відносяться також кілька однолінійних черг, що з'єднуються в певній крапці перерозподілу

в одну лінію. Особливістю багатолінійних черг на перевантажених сервісних підприємствах

є те, що вони не постійні й часто зміщуються, наприклад, якщо кілька заявок надійшли

через короткі інтервали, то одна черга може виявитися більш довгою, ніж інші, і клієнти

переходять з однієї черги в більш коротшу. Те ж саме відбувається, якщо на

обслуговування клієнтів, що стоять в інших чергах, потрібно менше часу.
 
Рис. 1.7 Основні характеристики черг

Дисципліною черги називають правило або набір правил, що визначають пріоритетний

порядок обслуговування клієнтів у черзі. Обрані підприємством правила можуть зробити

досить серйозний вплив на загальну продуктивність сервісної системи. Від правил

призначення пріоритету залежить кількість клієнтів у черзі, середній час очікування,

діапазон варіювання довжини черги, продуктивність роботи сервісного підприємства й

багато чого іншого.
Найпоширенішим правилом призначення пріоритету є правило першим прибув, першим

обслужили (First Come, First Served - FCFS) [13, 204]. Відповідно до нього клієнти в

черзі обслуговуються в хронологічному порядку прибуття, і ніякі інші характеристики на

порядок обслуговування впливу не роблять. Це правило вважається самим справедливим,

однак на практиці воно найчастіше приводить до дискримінації тих клієнтів (заявок), час

обслуговування яких набагато коротший часу обслуговування інших.
Іншими прикладами правил призначення пріоритету є: першочергове обслуговування по

попередніх замовленнях, першочергове обслуговування у випадках гострої потреби,

першочергове обслуговування найбільш дохідних клієнтів, першочергове обслуговування

самих великих замовлень, першочергове обслуговування постійних клієнтів, першочергове

обслуговування клієнтів, що очікували в черзі найбільший час, і обслуговування по

найближчій обіцяній даті. У реальних умовах можуть застосовуватися відразу кілька

пріоритетів, що вишиковуються в порядку значимості.
 
Рис. 1.8 – Дисципліни черги

При використанні кожного із цих правил виникає дві основні проблеми практичного

характеру. Перша полягає в тім, що про них необхідно проінформувати клієнтів для того,

щоб вони могли їх дотримуватися, а друга - у необхідності створення спеціальної системи,

що дозволяє службовцям управляти такими чергами (наприклад, ввести номерну систему).
Ще одною важливою характеристикою черги є час, що клієнт або одиниця потоку (заявка)

проводить у контакті з каналом обслуговування від початку процесу обслуговування.

Якщо кожне обслуговування має ту саму тривалість, то говорять про правило постійного

часу обслуговування. Дотримання цього правила (так само як незмінний інтервал

надходження заявок) частіше властиво тільки автоматично виконуваним операціям.
Якщо ж час обслуговування має довільну величину, то для його опису використовують

закон експонентного розподілу. Виходячи з нього визначають середнє число, позначуване

М, одиниць потоку (заявок) або клієнтів, які можуть бути обслужені протягом цього

періоду.

1.4 Структура черг

Як видно з рис.1.9 , потік заявок, який підлягає обслуговуванню, може проходити через

одну чергу, через кілька черг або через комбінацію цих двох варіантів.
Вибір формату структури частково залежить від кількості клієнтів (заявок), що потребують

в обслуговуванні, і частково - від обмежень, пов'язаних з конкретним порядком, у якому

повинне проводитися обслуговування.
Одноканальна, однофазова структура - це найпростіший тип структури черги й, якщо

вхідні потоки й процес обслуговування описуються стандартними розподілами, то існують

прості формули для рішення відповідних завдань. Якщо ж ці розподіли нестандартні, то

такі завдання відносно легко вирішуються за допомогою комп'ютерного моделювання.

Типовим прикладом одноканальної й однофазової структури може служити перукарня з

одним перукарем.
 
Рис. 1.9 Структури черг

Одноканальна, багатофазова структура. Як ілюстрацію такої структури можна привести

станцію для мийки автомобілів, оскільки в ході цього обслуговування виконується цілий

ряд сервісних операцій у відносно стабільній послідовності: чищення пилососом,

зволоження, миття, ополіскування, сушіння, мийка вікон і паркування. Основним

показником одноканальної, багатофазової структури обслуговування з певною

послідовністю послуг є обсяг нагромадження одиниць потоку (заявок) перед кожною

операцією, де також утворюються свої окремі черги.
Багатоканальна, однофазова структура. Прикладами такого типу структури можуть

служити черги до вікон банківських клерків або до кас у великих магазинах. Особливістю

даної структури є те, що внаслідок нерівномірного часу обслуговування кожного клієнта

черги просуваються з різною швидкістю. При цьому деякі клієнти, що прибули в систему

пізніше, обслуговуються раніше тих, хто прийшов першим. Це приводить також до певного

перерозподілу черг, довільно здійснюваному клієнтами. Для того щоб дотримувати

правила обслуговування клієнтів у хронологічному порядку їхнього прибуття, необхідно

попередньо сформувати одноканальну чергу, у якій, як тільки звільняється один з каналів

обслуговування, обслуговується наступний у черзі клієнт.
Основна проблема такого формату обслуговування полягає в тому, що для дотримання

хронологічного порядку потрібен дуже суворий контроль за рухом черги, що дає

можливість чітко направляти клієнтів до вивільнюваних каналів обслуговування. У деяких

ситуаціях вирішити цю проблему допомагає присвоєння клієнтам номерів у міру їхнього

входу в систему.
Багатоканальна, багатофазова структура. Ця ситуація в загальному схожа на описану

вище, з тією лише різницею, що в певній послідовності виконується дві або кілька

обслуговуючих операцій. Прикладом формату такого обслуговування може служити прийом

пацієнта в лікарні, оскільки ця процедура звичайно складається з ряду етапів: первинний

контакт із працівником приймального відділення, заповнення медичних карток, 

призначення палати й відправлення в неї пацієнта й т.д. Оскільки в цьому процесі

звичайно задіяно мало службовців, одночасно обслуговуються мало пацієнтів.
Комбінована структура. Цей тип структури підрозділяється на дві категорії:
- структури з переходом багатоканального обслуговування в одноканальне;
- структури альтернативного шляху.
У першому випадку різні черги зливаються в одну для наступного однофазового

обслуговування (як, наприклад, при переході через міст, коли дві черги поєднуються в

одну) або вони зливаються в одну чергу для багатофазового обслуговування (наприклад,

коли комплектуючі, вступники з різних ліній по складанню підвузлів, надходять на основну

складальну лінію). У другому випадку також виникають два варіанти, що відрізняються

вимогами, пропонованими до впорядкування потоку. Перший варіант нагадує

багатофазову багатоканальну структуру, але з можливістю переміщення клієнтів з одного

каналу в інший після завершення першої обслуговуючої операції. У другому варіанті

кількість фаз і каналів може варіюватися, але також після виконання першої

обслуговуючої операції.
Після обслуговування клієнта існує два сценарії його виходу із системи:
- він може повернутися у вихідну генеральну сукупність і відразу стати ймовірним

кандидатом на наступне таке ж обслуговування;
- клієнт не вертається взагалі або ймовірність повторного обслуговування його в даній

системі дуже мала.
Для ілюстрації першої ситуації можна представити верстат, що тільки що відремонтували

після поломки й знову ввели в експлуатацію, але в будь-який момент він може поламатися

знову. Прикладом другої ситуації служить верстат, що пройшов капітальний ремонт або

модернізований і існує невелика ймовірність, що йому в найближчому майбутньому знову

знадобиться такий же капітальний ремонт. [9, 286]
Очевидно, що якщо вихідна генеральна сукупність є кінцевою, то будь-яке надходження

клієнта (заявки) на обслуговування й наступне повернення його у вихідну генеральну

сукупність спричиняє зміну параметрів інтенсивності вхідного в сервісну систему потоку.

Це, зрозуміло, приводить до зміни характеристик аналізованої черги й викликає

необхідність їхнього уточнення.

Розділ 2. Моделі черг

2.1 Ціль аналізу черг

Модель теорії черг або модель оптимального обслуговування використовується для

визначення оптимального числа каналів обслуговування стосовно потреби в них.
До ситуацій, в яких моделі теорії черг можуть бути корисні, можна віднести дзвінки людей

в авіакомпанію для резервування місця й одержання інформації, очікування в черзі на

машинну обробку даних, майстрів з ремонту устаткування, черга вантажівок під

розвантаження на склад, очікування клієнтами банку вільного касира. Якщо, наприклад,

клієнтам доводиться занадто довго чекати касира, вони можуть вирішити перенести свої

рахунки в інший банк. Таким чином, якщо вантажівкам доводиться занадто довго чекати

розвантаження, вони не зможуть виконати стільки маршрутів за день, скільки потрібно. [5,

467]
Таким чином, принципова проблема полягає в зрівноважуванні витрат на додаткові

канали обслуговування (більше людей для розвантаження вантажівок, більше касирів,

більше клерків, що займаються попереднім продажем квитків на літаки) і втрат від

обслуговування на рівні нижче оптимального (вантажівки не можуть зробити зайву

зупинку через затримки під розвантаженням, споживачі йдуть в інший банк або

звертаються до іншої авіакомпанії через повільне обслуговування).
Основна причина недоліку в каналах обслуговування полягає в короткострокових змінах

частоти обігу споживачів за обслуговуванням, а також часу обслуговування. Це веде до

надлишкової пропускної здатності в певні моменти часу й появі черг в інші, хоча

пропускна здатність могла б бути достатньої, якби здійснювався повний контроль за

надходженням вимог, то можна було б побудувати відповідний графік.
Моделі черг надають керівництву інструменти визначення оптимального числа каналів

обслуговування, які необхідно мати, щоб збалансувати витрати у випадках надмірно

малого чи надмірно великої їхньої кількості.

2.2 Характеристика моделей черг

Немає сумніву, що для всіх, хто очікує у черзі рішення проблеми очевидним буде: додати

додатковий обслуговуючий персонал або почати ще що-небудь у цьому роді для

прискорення обслуговування. Безумовно, все це може стати потенційним рішенням

проблеми, хоча необхідно враховувати деякі тонкості. З одного боку, більшість систем

обслуговування мають у своєму розпорядженні можливості обслужити протягом тривалого

періоду часу більше число клієнтів, чим звичайно потрібно. Отже, проблема

обслуговування, що очікує клієнтів - це короткострокове явище. З іншого боку, у певні

періоди часу клієнти відсутні, а обслуговуючий персонал займається очікуванням. Таким

чином, підвищуючи число персоналу, ми ще більше підвищуємо й час простою. Отже, при

розробці сервісних систем необхідно співвіднести витрати на забезпечення заданого

рівня сервісних можливостей з потенційними витратами, викликаними необхідністю

замовника чекати обслуговування. Подібне планування й аналіз сервісних можливостей

звичайно відносять до теорії черг, що є математичним методом аналізу черг.  [4, 58]
Існує велика кількість моделей черг, з яких аналітик може вибирати. Природно, успіх

аналізу багато в чому залежить від вибору найбільш підходящої моделі. Вибір моделі

визначається характеристиками досліджуваної системи. Основними характеристиками є:
1. Потік клієнтів.
2. Число серверів (каналів).
3. Структура прибуття й обслуговування клієнтів.
4. Порядок обслуговування.
Розглянемо п’ять типів моделей аналізу черг. Всі вони мають різну структуру, і для

їхнього рішення застосовуються різні рівняння. Існують і інші типи моделей, крім цих п’яти,

але формули для їхнього рішення занадто складні, такі завдання звичайно вирішуються за

допомогою комп'ютерного моделювання. Крім того, представлені нижче формули отримані

при допущенні, що аналізований процес у цей момент є стійким і незмінним. Отже,

застосування їх до процесів, у яких інтенсивності вхідного потоку й обслуговування

змінюються в часі, може привести до неточних результатів.
У число п’яти  моделей, описаних у курсовій роботі, входять наступні:
1. Один канал, експонентний час обслуговування.
2. Один канал, постійний час обслуговування.
3. Кілька каналів, експонентний час обслуговування.
4.Різний порядок черговості (багатопріорітетна система  
   обслуговування), експонентний час обслуговування.
5. Один канал, кінцева, експонентний час обслуговування.
Модель 1: один канал, експонентний час обслуговування
Найпростіша модель - система, що складається з однієї одиниці обслуговування (або

однієї бригади). Порядок обслуговування - « першим прийшов - першим обслужили ». Темп

прибуття клієнтів описується розподілом Пуассона, а час обслуговування - зворотним

експонентним розподілом. Обмежень на довжину черги немає.
Формули для рішення завдань для моделі 1:
                        
Модель 2: один канал, постійний час обслуговування
Як вже говорилось, черга - наслідок випадкового, нерегулярного прибуття й

обслуговування. При зниженні або усуненні випадковості одного або обох цих факторів,

черги значно скорочуються.

Формули для рішення завдань для моделі 2:
 
Модель 3: кілька каналів обслуговування
Багатоканальні системи існують там, де клієнтів обслуговують два або більше серверів, що

працюють незалежно друг від друга. Використання моделі припускає наступні допущення:
1. Розподіл Пуассона для показників прибуття клієнтів і експонентний час

обслуговування.
2. Робота всіх каналів з однаковим середнім темпом.
3. Клієнти утворять єдину чергу (для збереження принципу обслуговування «першим

прийшов - першим обслужили»).
Формули для рішення завдань для моделі 3:
 
Модель 4: множинні пріоритети черговості
У багатьох сервісних системах обслуговування виробляється за принципом «першим

прийшов - першим обслужили». Проте, у деяких ситуаціях цей принцип неприйнятний.

Причина в тім, що вартість очікування (або збиток від очікування) для різних клієнтів

буває різний. Наприклад, у лікарні швидкої допомоги лікування вимагають пацієнти із

травмами й захворюваннями різного ступеня важкості. Одні можуть бути не дуже

серйозними, інші можуть навіть являти загрозу для життя. Розумніше надати допомогу в

першу чергу серйозно хворим, а менш серйозні випадки можна відкласти доти, коли

будуть оглянуті важкі хворі. Точно так само, комп'ютерна обробка даних часто

підкоряється іншим законам, чим «першим прийшов - першим обслужений» (наприклад,

першим виконується саме коротке завдання). У подібних випадках для опису роботи

системи застосовується модель множинних пріоритетів(тобто різного порядку черговості).
Модель 5: Один канал, кінцевий поток, експонентний час обслуговування.
Модель кінцевого потоку застосовується в тих випадках, коли потік потенційних клієнтів

обмежений порівняно невеликою величиною. Наприклад, робітник може відповідати за

ремонт 15 верстатів; таким чином, потенційний потік його клієнтів дорівнює 15. Однак і в

такій системі буває більше одного каналу - наприклад, при великому числі несправного

устаткування, що очікує ремонту, менеджер може виділити додаткового робітника на

проведення ремонтних робіт.
Як і в моделях нескінченного потоку, темпи прибуття описуються розподілом Пуассона, а

час обслуговування - експонентним розподілом. Основна відмінність моделі кінцевого

потоку від моделі нескінченного потоку - це залежність темпів прибуття клієнтів від

довжини черги; при збільшенні довжини черги темпи прибуття знижуються - просто тому,

що зменшується доля клієнтів, здатних звернутися за обслуговуванням (через кінцівку

потенційного потоку).
Модель 5 характерна для кінцевої генеральної сукупності. Завдання цієї моделі простіше

всього вирішуються за допомогою спеціальних таблиць параметрів кінцевої генеральної

сукупності.
Формули для рішення завдань для моделі 5:
 

В табл. 2.1 представлена система позначень, які використані в формулах вищеописаних

моделей. [11, 301]

Таблиця 2.1
Умовні позначення, використані в формулах моделей:
Позначення для нескінченної черги (моделі 1-3) Позначення для кінцевої черги

(модель 5)
Інтенсивність вхідного потоку - λ Інтенсивність обслуговування - μ
Середній час обслуговування - 
Середній час між вхідними заявками - 
Відношення інтенсивності вхідного потоку до інтенсивності      обслуговування  - ρ
Середня кількість одиниць, що очікують у черзі - 
Середня кількість одиниць у системі  – 
Середній час очікування в черзі - 
Середній сумарний час перебування в системі - 
Кількість одиниць у системі - n
Кількість ідентичних каналів обслуговування - М
Імовірність знаходження n одиниць у системі - Рn
Імовірність очікування в черзі - Pw
 Імовірність того, що одиниця очікування повинна стати в чергу - D
Коефіцієнт ефективності очікування в черзі - F
Середня кількість одиниць, що перебувають у процесі обслуговування - Н
Вихідна генеральна сукупність без ліку одиниць, що ввійшли в систему масового

обслуговування – J
Середнє число одиниць у черзі - L
Кількість каналів обслуговування - М
Середня кількість одиниць у системі масового обслуговування (включаючи що

обслуговуються) - n
Кількість одиниць у вихідній генеральній сукупності (розмір популяції) - N
Імовірність знаходження n одиниць у системі масового обслуговування - Pn
Середній час обслуговування - T
Середній час між двома черговими заявками на обслуговування клієнтів - U
Середній час очікування в черзі - W

 
Деякі завдання, пов'язані з аналізом черг, здаються на перший погляд простими, але

насправді вирішуються вони дуже складно. Вище були розглянуті ситуації із чергами як

незалежними, тобто вихідними або з того, що вся система є однофазовою, або з того, що

кожна наступна операція обслуговування виконується послідовно й незалежно від

попередньої. Такі умови можливі, тільки якщо обслужені заявки одного сервісного

підрозділу можуть накопичуватися перед наступним підрозділом, у результаті чого вони,

по суті, стають вихідною генеральною сукупністю для наступної операції. Якщо ряд послуг

надається в послідовному порядку, при якому інтенсивність вихідного потоку однієї

операції обслуговування стає інтенсивністю вхідного потоку іншої, завдання черг уже

неможливо вирішити із застосуванням простих формул. Зручніше за все вирішувати такі

завдання за допомогою комп'ютерного моделювання.

Висновки

В ході курсової роботи мною були розглянуті такі питання як: що таке черга, структури

черг, їх основні характеристики, а також проблеми керування чергами.
Багато завдань, пов'язані із проблемами масового обслуговування, здаються простими до

першої спроби їхнього рішення. Завдання черг найчастіше дуже складні й заплутані.

Основною метою фахівця, що вирішує подібні завдання, є досягнення максимальної

збалансованості витрат, пов'язаних з додаванням додаткових ресурсів. У сервісних

системах це означає, що завантаження каналу обслуговування (наприклад, працівника

сервісного підприємства) може бути недостатнім для забезпечення мінімального часу

очікування клієнта в черзі. Одна з найважливіших проблем, що виникають у процесі

рішення завдань такого роду, полягає у визначенні того, якими саме процедурами й

правилами призначення пріоритетів варто користуватися при виборі наступної

обслуговуваної одиниці (заявки) або клієнта, що стоїть в черзі на обслуговування.
Аналіз черг може стати важливим аспектом розробки сервісних систем. Черги дуже часто

формуються в таких системах, навіть якщо по великому рахунку система недовантажена.

Довільний (нерегулярний) час прибуття клієнтів і непостійний час обслуговування,